Senza perdere in generalità [1], per studiare le figure di Lissajous si possono assumere le seguenti equazioni parametriche nel tempo
x = A1cos(ω1t) y = A2cos(ω2t+φ)
in cui figura una sola fase φ (che con maggior rigore andrebbe chiamata differenza di fase). Sono proprio queste equazioni quelle usate per realizzare la figura dinamica qui a lato. La via migliore per studiare le figure di Lissajous è quella di procedere con gradualità, modificando un parametro alla volta.
Nel caso più semplice, caratterizzato da identica ampiezza di oscillazione (A1 = A2) e stessa pulsazione (cioè rapporto di pulsazione unitario, ω1/ω2 = 1), si può vedere che sono figure di Lissajous un segmento appartenente alladel I e III quadrante (φ=0), un segmento appartenente alladel II e IV quadrante (φ=π) [2], il(φ=π/2 o φ=3π/2) [3] e l'(vari valori di φ).
A parità di φ, la modifica di una o di entrambe le ampiezze di oscillazione ha come effetto lo stiramento (per incrementi di ampiezza) o l'accorciamento (per decrementi di ampiezza) delle dimensioni della figura secondo la direzione x o quella y o entrambe. Si può pensare la figura disegnata su un panno elastico che viene tirato o lasciato rilassare lungo x, lungo y o secondo entrambe le direzioni degli assi coordinati. Dal punto di vista geometrico questa trasformazione si chiama affinità, la quale introduce una variazione dei rapporti dimensionali caratteristici della figura. Caso particolare è l'applicazione di variazioni della stessa entità e verso alle ampiezze di oscillazione. La figura non subisce distorsioni nei rapporti tra le lunghezze caratteritiche, ma solo un rimpicciolimento e un ingrandimento. Questa trasformazione geometrica si dice similitudine. Ecco alcuni esempi:
Si deduce che per ω1 = ω2 (e al variare di A1, A2 e φ) l'intera famiglia di figure di Lissajous proviene dalla trasformazione di un'ellisse [4]; infatti un segmento può essere pensato come un'ellisse così schiacciata da avere un semiasse di valore nullo e ovviamente il cerchio è un caso particolare di ellisse con uguali valori dei semiassi [5].
Nel caso in cui il rapporto tra le pulsazioni si una numero razionale q, si ottengono delle figure più complicate, compresa la[6], ma in ogni caso periodiche, intendendo con questo termine il fatto che dopo un certo tempo il punto del piano (x,y) "ritorna sui suoi passi", cioè ridisegna esattamente la stessa curva e così di seguito con lo scorrere del tempo. Se il periodo della curva è superiore a t=2π, per ottenere con questa pagina dinamica una figura completa si deve aumentare il tempo di osservazione agendo sul relativo selettore. Mentre le variazioni delle ampiezze di oscillazione delle sinusoidi produce su una figura delle trasformazioni affini (esempio: da a ) o, al limite una semilitudine, la variazione della fase φ consente di ricavare tutta la famiglia di curve di Lissajous corrispondenti al valore di ω1/ω2 = q scelto.
Si osservi che, fissato una certa fase φ, dal punto di vista della forma di una figura di Lissajous per esempio la condizione ω1 = 2ω2 è formalmente identica a 2ω1 = ω2 (in ogni caso una pulsazione è il doppio dell'altra). L'unica differenza è una rotazione di 90º (esempio da a ).
Nel caso in cui il rapporto tra le pulsazioni si una numero irrazionale (situazione non prevista in questa pagina dinamica), viene a cadere la periodicità della figura.