NOTA 1: Infatti, assunte le equazioni nella variabile tempo x=A₁cos(ω₁t+φ₁) e y=A₂cos(ω₂t+φ₂) per descrivere rispettivamente i moti sugli assi x e y, la curva che descrive il moto risultante dalla composizione di tali moti armonici ortogonali ha allora equazioni parametriche nella variabile tempo t:

x = A1cos(ω1t+φ1) y = A2cos(ω2t+φ2)

A1 e A2 = ampiezza di oscillazione ω1 e ω2 = pulsazioni φ1e φ2 = fasi

La fase indica il ritardo o l'anticipo con cui, rispetto all'asse delle ordinate in un grafico con il tempo come variabile indipendente, si annulla la funzione coseno. Senza perdere troppo in generalità, si può pensare di ruotare di φ₁ gli assi cartesiani x,y; si ottiene così per la coordinata y una nuova fase φ=φ₂-φ₁, una costante detta differenza di fase, e le equazioni parametriche

x = A1cos(ω1t)
y = A2cos(ω2t+φ)

come volevasi dimostrare. [<<]

NOTA 2: Introducendo i vincoli stabiliti nelle equazioni parametriche (A₁=A₂=A, ω₁=ω₂=ω e φ=0), esse diventano

x = Acos(ωt)
y = Acos(ωt)

e quindi, assumendo i membri di destra identici valori per ogni t, si ricava che la x cresce o cala nel tempo tanto quanto la y. Il segmento che si ottiene appartiene quindi alla "curva del piano" di equazione y = x, l'equazione di una retta, e di una retta particolare: la bisettrice del I e III quadrante. Se negli assi cartesiani, come quelli del disegno, le unità di misura di x e y sono uguali, il segmento è inclinato di 45º.
Per φ = π, richiamando la relazione trigonometrica cos(θ+π) = -cos(θ), si ricava la relazione y = -x, cioè l'equazione della bisettrice del II e IV quadrante. Se le unità di misura degli assi coordianti sono uguali, il segmento è inclinato di -45º. [<<]

NOTA 3: Infatti, ricordando che l'equazione del cerchio di raggio r e centro l'origine ha equazione x²+y²=r², assumendo A₁=A₂=A, ω₁=ω₂=ω e φ=π/2, si ottiene

x=Acos(ωt)
y=Acos(ωt+π/2)= -Asin(ωt)

dove la seconda uguaglianza si verifica facilmente con le formule di addizione. Elevando al quadrato e sommando, sfruttando la relazione trigonometrica sin²(θ)+cos²(θ) = 1, si ricava infine x²+y²=A², come volevasi dimostrare. [<<]

NOTA 4: Infatti sotto la condizione ω₁=ω₂=ω, la trattazione generale del problema porta con qualche passaggio trigonometrico che qui si tralascia ad ottenere la relazione (x/A₁)²+(y/A₂)²-2xycos(φ)/(A₁A₂) = sin²(φ), che è l'equazione di un'ellisse variamente inclinata rispetto agli assi cartesiani, ma sempre caratterizzata dal fatto che il punto d'intersezione degli assi di simmetria è l'origine del piano cartesiano. In particolare per il rapporto tra semiasse minore b e semiasse maggiore a di tale ellisse vale la relazione b/a = tgψ, dove ψ si calcola dell'equazione sin(2ψ) = -2A₁A₂sin(φ)/(A₁²+A₂²). L'inclinazione δ, detta azimut, dell'asse maggiore rispetto all'asse delle x si ricava dalla relazione tg(2δ)=2A₁A₂cos(φ)/(A₁²+A₂²). [<<]

NOTA 5: Sempre sotto la condizione ω₁=ω₂=ω, nell'equazione (x/A₁)²+(y/A₂)²-2xycos(φ)/(A₁A₂) = sin²(φ) per φ=π/2 e φ=3π/2, divenendo cos(φ) = 0, "sparisce" il termine in xy. Si ottengono dunque ellissi dagli assi paralleli agli assi cartesiani, poiché l'equazione si trasforma in (x/A₁)²+(y/A₂)² = 1, che è appunto l'equazione canonica dell'ellisse di semiassi A₁ e A₂, come volevasi dimostrare. Se A₁=A₂=A, si ha naturalmente un cerchio. [<<]

NOTA 6: Prima di dimostrare che la parabola è contenuta come caso particolare nelle equazioni parametriche delle figure di Lissajous, si ricorda che l'equazione della generica parabola con asse di simmetria l'asse delle ordinate ha equazione y = kx²-q, con k e q delle costanti. Si richiama inoltre la relazione cos²(θ)=½(1+cos(2θ)), ricavata dalle formule di bisezione. Ora, dalle equazioni parametriche generali delle curve di Lissajous per ω₁=2ω₂ e φ=0, si ottiene (per semplicità ω₁=ω)

x=A1cos(ωt)
y=A2cos(2ωt)

Elevando x al quadrato e sfruttando la formula di bisezione del coseno si ha x² = A₁²cos²(ωt) = ½A₁²(1+cos(2ωt)) = ½A₁²+½A₁²(A₂/A₂)cos(2ωt) = ½A₁²+½(A₁²/A₂)y. A questo punto si tratta di portare a primo membro la y. Con facili passaggi che omettiamo si ottiene l'equazione y = 2(A₂/A₁²)x²-A₂, che si riconosce immediatamente essere l'equazione di una parabola (k = 2A₂/A₁² e q = -A₂ ). [<<]