E' evidente che Lissajous non potè contare sull'aiuto di un computer per generare le sue omonime curve e del resto il calcolo delle funzioni seno e coseno, oltre a complicazioni di calcolo per eventuale uso delle formule di bisezione o delle tavole trigonometriche, dà comunque valori irrazionali che mal si prestano alla rappresentazione con buona precisione su carta con penna e righello. Come fare allora per ricavare graficamente le figure di Lissajous senza fare un solo conto?

Galleria d'immagini
Moto armonico Costruzione 1 Costruzione 2 Costruzione 3

La soluzione si basa sul fatto che se si proietta secondo uno degli assi coordinati la traiettoria circolare seguita da un punto materiale, si ottiene un segmento percorso avanti e indietro con una certa legge oraria. Se il punto è animato da moto circolare uniforme, il moto delle stesso punto sul segmento di proiezione è descritto da una funzione sinusoidale (seno o coseno), funzioni che rientrano anche nelle equazioni parametriche delle figure di Lissajous.

Ad esempio (vedi foto), mentre il punto M percorre con moto circolare uniforme in senso antiorario la circonferenza, la sua proiezione P oscilla avanti e indietro sul segmento lungo come il diametro, con legge armonica (qui secondo la funzione seno). Si vede che le posizioni P₁ e P₃ coincidono, ma corrispondono a punti differenti sia sulla circonferenza che rispetto all'asse dei tempi nella legge oraria.

Scelto un angolo minimo d'incremento o di osservazione (per esempio π/12 = 15º) con cui far muovere istante per istante il punto sulla circonferenza (ovvero sul grafico della legge oraria), con due segmenti di proiezione (uno infatti per le x e l'altro per le y) basta costruire graficamente un particolare piano "graduato", che qui per semplicità chiameremo "piano di Lissajous", su cui con un po' di pazienza ricavare per punti (x,y) le figure di Lissajous, appunto senza fare un solo conto matematico. Ecco dunque la cosa in pratica.

Si consideri la figura indicata come "costruzione 1". Il quadrato graduato (piano di Lissajous) è così costruito. Disegnato un quadrato di lato L, ad una certa distanza da due lati contigui si disegnano le due semicirconferenze di diametro pari a L e tale per cui ciascun centro sia alla stessa quota del punto medio del lato corrispondente del quadrato. Il semicerchio verticale è associato alle y, mentre quello orizzontale alle x delle equazioni parametriche delle curve di Lissajous (chiaramente assunto in esse per semplicità A₁ = A₂).

Avendo preso per esempio π/12 = 15º come angolo d'incremento, si divide la semicirconferenza delle y in 180/15 = 12 settori circolari, individuando dei punti su di essa e dei quali si segnano le proiezioni sul diametro (chiaramente non sono equispaziati). La stessa cosa si esegue sul semicerchio delle x. Ognuno dei segmenti paralleli verticali della quadrettatura del piano di Lissajous passa per uno dei punti marcati sul diametro del cerchio delle x e la stessa cosa dicasi per i segmenti orizzontali. In questo modo la leggi armoniche x e y vengono studiate (osservate) con 24 punti per periodo.

Non resta che scegliare il rapporto tra le pulsazioni. In altre parole quanti giri fa il punto delle x quando ne fa uno quello delle y, che si traduce sui segmenti diametrali nel modo seguente: di quanti punti avanza la x quando la y passa da un punto a quello successivo (avanzamento unitario). Fissiamolo in un primo momento per semplicità unitario ovvero se y si sposta di un punto alla volta anche la x si sposta di un punto sola alla volta.

Un altro parametro da scegliere (che fa mutare l'aspetto della figura di Lissajous ma sempre all'interno della stessa famiglia) è la differenza di fase φ. In questa costruzione φ è visto come ritardo o anticipo di posizione del punto di partenza delle x rispetto a quello scelto per le y; ogni punto di ritardo o anticipio corrisponde a un ritardo o anticipo di 15º. Come primo caso sia φ = 0 (cioè x e y partono dalla stessa posizione sui diametri).

Si parta allora dai punti S e D e ci si muova con incremeto di un punto alla volta sulle semicrconferenze seguendo il verso indicato la ciascuna freccia (per poi tornare indietro arrivati all'estremità del diametro). La quadrettatura del piano di Lissajous consente di segnare facilmente i vari punti (x,y) spostamento per spostamento. Come verificabile con la generazione interattiva le condizione imposte sui parametri portano ad ottenere un segmento. Mantenendo lo stesso rapporto di pulsazione ma con φ=30º di ritardo (punto di partenza delle x 2 punti indietro rispetto a quello di partenza delle y), si ottiene un'ellissi (vedi costruzione 2, per esempio partendo da S e C), mentre con φ=90º in ritardo (6 punti di differenza tra le posizioni iniziali di x e y) si ottiene una circonferenza (vedi costruzione 3, per esempio partendo da S e A).

La procedura grafica è la stessa anche per diversi rapporti fra le pulsazioni. Se il rapporto è per esempio 2/3, vuol dire che quando ci si sposta di 2 punti sul diametro delle y, ci si deve spostare di 3 punti sul diametro delle x. E per vari valori di φ con calma verrà fuori la corrispondente figura di Lissajous. Provare per credere...

------------------
BIBLIOGRAFIA
[1] A. Battelli - G. Cardani (1913), Vol II, pag. 5, fig. 5.
[2] O. Murani (1906), Vol. I, figg. 384-386.